Tipo: Livro	Título: More Precisely: The Math you need to do Philosophy – Cap.1
Assunto / tema: Sets Theory (Teoria dos Conjuntos)
Referência bibliográfica: STEINHART, E. More Precisely: The Math you need to do Philosophy. Ed. Broadview, Toronto. 2009.
ISBN: 978-1-551l 1-9090

Objetivo do Capítulo: introduzir o vocabulário e as regras da teoria dos conjuntos

[Seção 1] Coleção de Coisas

A ideia de conjunto de Cantor: conjunto é a coleção de várias coisas em um todo (1955: 85). Ex. de conjuntos: “Multidão ‘de pessoas’”; “Rebanho ‘de Vacas’”; “Frota ‘de navios’”; etc.

Membros do conjunto: são as coisas que colocadas junto no interior do conjunto. Ex. “Se a biblioteca é o conjunto de livros, então ‘livro’ é um membro da biblioteca”; “Se uma Galáxia é um conjunto de estrelas, então estrela é um membro da galáxia”

Teoria dos conjuntos: é um ramo sofisticado da matemática com um vocabulário técnico rico e complexo.

Indivíduo: é qualquer coisa que não é um conjunto. Um indivíduo não possui qualquer outra restrição. Às vezes utiliza-se a palavra alemã Urelemente para denotar um indivíduo. Urelemente: (pronuncia oor-ella-mentuh) significa primordial, básico, elemento original.

*Conjuntos podem ser reunidos em um conjunto – neste caso eles não contam como indivíduos.

[Seção 2] Conjuntos e Membros

Conjuntos possuem nomes e uma maneira de se referir a um conjunto é listar os seus membros entre “chaves”.

Ex:

{Sócrates, Platão, Aristóteles} é um conjunto de filósofos;

{“Sócrates”, “Platão”, “Aristóteles”} é um conjunto de nomes de filósofos

*Listar membros é diferente de listar nomes dos membros

Relação de pertença: é expressa pelo símbolo ∈

Ex.

Sócrates ∈ {Sócrates, Platão}

*O exemplo simboliza o fato de que Sócrates é um membro de {Sócrates, Platão}

Negação da relação de pertença: é expressa pelo símbolo ∉

Ex.

Aristóteles ∉ {Sócrates, Platão}

*Indivíduos não possuem membros, i.e., nenhum objeto é membro de qualquer não conjunto.

Identidade: Dois conjuntos são idênticos se, e somente se, eles possuem os mesmos membros.

S = T iff S e T possuem os mesmos membros.

*iff – abreviação de “se, e somente se”

Identificar dois conjuntos quer dizer que: para todo membro x, x está em um determinado conjunto S se, e somente se, x está em T.

S = T iff (para todo x) ((x ∈ S) iff (x ∈ T))

Ex:

{Sócrates, Platão} = {Platão, Sócrates}

*Ao escrever o nome de um conjunto, mencionar um membro várias vezes não faz diferença. Contudo, cada membro deve ser mencionado uma vez.

*Dois conjuntos são distintos se, e somente se, eles possuem membros distintos

[Seção 3] Notação para construção de conjuntos

Define-se conjunto através de uma fórmula que é verdadeira para cada membro do conjunto.

Ex.

O conjunto de todo x tal que x é feliz = {x | x é feliz}

*usa-se a barra vertical “|” para significar “tal que”

*quando usamos a variável x por si mesma na notação da teoria dos conjuntos, o escopo dessa variável é aberto – x pode ser qualquer coisa.

{REGRA}: Um conjunto nunca é membro de si mesmo (ao menos não na teoria padrão).

Para teorias não padrão ver: Aczel 1988

[Seção 4] Subconjuntos

Subconjunto: é uma das relações que um conjunto pode manter com o outro.

Um conjunto S é um subconjunto de T iff cada membro de S está em T

{(S⊆T) iff [(para todo x) (se x ∈ S, então x ∈ T)]}

Ex.

{Sócrates, Platão} ⊆ {Sócrates, Platão, Aristóteles}

*Todo conjunto é um subconjunto de si mesmo. Portanto, (S ⊆ S)

Subconjunto próprio: é um subconjunto de S que não é idêntico a S. Nós usamos o símbolo ⊂ para distinguir subconjuntos próprios

Ex.

{Sócrates, Platão} é subconjunto próprio de {Sócrates, Platão, Aristóteles}

{Sócrates, Platão} ⊂ {Sócrates, Platão, Aristóteles}

*Todo subconjunto próprio é um subconjunto. Todavia, nem todo subconjunto é próprio.

Se S ⊆ T não se seque logicamente que S ⊂ T

Subconjunto Impróprio: é um subconjunto de S que é idêntico a S.

{Sócrates, Platão} é subconjunto impróprio de {Sócrates, Platão}

*Dois conjuntos são idênticos se, e somente se, um é um subconjunto do outro:

S = T iff [(S ⊆ T) ˄ (T ⊆ S)]

Superconjunto: é o converso de um subconjunto. Nós usamos o símbolo  ⊇ para denotar superconjunto.

Se S é um subconjunto de T, então T é um superconjunto de S

S ⊆ T → T ⊇ S

Ex.

({Sócrates, Platão} ⊆ {Socrates, Platão, Aristóteles}) → ({Socrates, Platão, Aristóteles} ⊇ {Sócrates, Platão})

[Seção 5] Pequenos conjuntos

Conjuntos Unitários: conjuntos que contém um e somente um membro. Esses conjuntos podem ser conhecidos como singleton.

Ex.

A unidade do conjunto Sócrates é {Sócrates}

Para todo x, a unidade do conjunto de x é {x}

Filósofos que se preocuparam com a existência de conjuntos unitários: Goodman 1956; Lewis 1991: sec 2.1, contudo, teóricos da teoria dos conjuntos nos dizem que há conjuntos unitários e esta introdução aceita isso acriticamente.

Conjunto Vazio: O conjunto que não contém nenhum membro é dito vazio. Na medida em que conjuntos são identificados pelos seus membros, há exatamente um único conjunto vazio.

Ex.

O conjunto de todos os unicórnios existentes atualmente não possui membros.

O conjunto de todos os elfos existentes atualmente não possui membros.

O conjunto de todos os unicórnios atuais e de todos os elfos atuais são idênticos.

S é cum conjunto vazio iff (para todo x) (x não é um membro de S)

Dois símbolos são utilizados comumente para referir-se ao conjunto vazio:

∅ é o conjunto vazio;

{} é o conjunto vazio.

Ex.

{} = {x |x é um unicórnio atual};

{} = {x |x é um solteiro casado}.

*ontologicamente o conjunto vazio NÃO representa o não-ser ou o nada. Se o conjunto vazio EXISTE, então ele não pode denotar o não-ser, nem o nada. Seria ABSURDO! O conjunto vazio um objeto particular existente.

IMPORTANTE: o conjunto vazio é um subconjunto de TODO conjunto.

Considere o exemplo:

{} ⊆ {Platão, Sócrates}

Que pode ser dito como:

{Para todo x, se x está em {}, então x está em {Platão, Sócrates}.

Alguém poderia perguntar: “Mas como isto é possível?”. Para compreender precisamos escolher um objeto qualquer para x, por exemplo: Aristóteles. Fazendo referência à parte de nossa fórmula que diz: “ se x está em {}, então x está em {Platão, Sócrates}”, verificamos se Aristóteles está em {}. A resposta seria não. Então a sentença “Aristóteles está em {}” é falsa e, obviamente, a sentença “Aristóteles está em {Platão, Sócrates} é falsa. Portanto, Aristóteles não se encontra no conjunto {Platão, Sócrates}. O problema aqui surge quando nos damos conta de que a Lógica nos diz que há somente uma maneira em que uma sentença “se (…), então (…)” pode ser falsa; no caso em que a parte “se (…)” é verdadeira e a parte “então (…)” é falsa. Os lógicos contam uma sentença do tipo “se (…), então (…)” como verdadeira mesmo quando ambas as suas partes são falsas. Portanto, quando ambas as partes da sentença “se (…), então (…)” forem falsas, o todo da sentença será verdadeiro. Por exemplo: “Se Aristóteles está em {}, então Aristóteles está em {Platão, Sócrates}” é uma sentença verdadeira. O mesmo raciocínio pode ser utilizado para qualquer objeto que você escolha para x, de modo que: para qualquer conjunto S, e para qualquer objeto x, a afirmação: “se x está em {}, então x está em S” é verdadeira. Portanto, {} é um subconjunto de S.

Explicando formalmente:

Para todo conjunto S, {} ⊆ S

Para todo x, não é o caso que (x ∈ {})

Para todo conjunto S, e para todo objeto x, é o caso que (se x ∈{}, então x está em S)

Logo, para todo conjunto S, é verdade que (para todo x) (se x ∈{}, então x está em S)

Lembrando que a relação de subconjunto não é a relação de pertença. Todo conjunto tem o conjunto vazio como subconjunto, agora se eu quiser que o subconjunto vazio seja um membro do conjunto eu devo colocá-lo na lista dos membros do conjunto.

[Seção 6] União de Conjuntos

União: Informalmente, você obtém a união de dois, ou mais, conjuntos através da adição deles.

Ex.

Gregos = {Sócrates, Platão}

Alemães = {Kant, Hegel}

A união de Gregos e Alemães é {Sócrates, Platão, Kant, Hegel}

Nós usamos o símbolo ∪ para indicar uniões.

Ex.

A união de S e T = S união T = S ∪ T

*Quando formamos a união de dois, ou mais conjuntos, qualquer membro comum é incluído uma única vez:

Ex.

{Sócrates, Platão} ∪ {Platão, Aristóteles} = {Sócrates, Platão, Aristóteles}

*A união de um conjunto consigo mesmo é exatamente o mesmo conjunto:

{Sócrates} ∪ {Sócrates} = {Sócrates}

Explicando formalmente: A união de S e T é o conjunto que contém cada objeto que se encontra tanto em S quanto em T. Portanto, x está na união de S e T iff x está somente em S, ou x está somente em T, ou x está em ambos.

Ex.

S união T = {x | x está em S ou x está em T}

S ∪ T = {x | x ∈ S ou x ∈ T}

IMPORTANTE: Quando um conjunto é unido com o conjunto vazio, o resultado é o próprio conjunto: S ∪ {} = S

[Seção 7] Interseção de Conjuntos

Interseções: Informalmente, você obtém a interseção de dois, ou mais conjuntos, tomando aquilo que eles têm em comum.

Ex.

Filósofos = {Sócrates, Aristóteles}

Macedônios = {Aristóteles, Alexandre}

Interseção de Filósofos e Macedônios = {Aristóteles}

NOTAÇÃO: Utilizamos o símbolo ∩ para indicar interseções.

A interseção de S e T = S interseção T = S ∩ T

{Sócrates, Aristóteles} ∩ {Aristóteles, Alexandre} = {Aristóteles}

*A interseção de um conjunto consigo mesmo é o próprio conjunto

{Sócrates} ∩ {Sócrates} = {Sócrates}

Explicando formalmente: A interseção de S e T é o conjunto que contenha todos os objetos que estão tanto em S quanto em T. Portanto, x está na interseção de S e T iff x está em S e x está em T.

S interseção T = {x | x pertence a S ˄ x pertence a T}

S ∩ T = {x | x ∈ S ˄ x ∈ T}

Conjuntos disjuntos: Se dois conjuntos não possuem membros em comum dizemos que tais conjuntos são disjuntos. O conjunto S é disjunto de T iff o conjunto de todos os membros de S e T tem em comum.

Ex.

{Sócrates, Platão} ∩ {Kant, Hegel} = {}

IMPORTANTE: A interseção de conjuntos disjuntos é o conjunto vazio, mas o fato de que os conjuntos sejam disjuntos NÃO implica que o conjunto vazio seja um membro destes conjuntos.

{A} ∩ {B} = {} não implica que {} seja um membro de {A} ou {B}

*A interseção de qualquer conjunto com o conjunto vazio é o conjunto vazio:

S ∩ {} = {}

O operador de interseção (assim como o operador de união) é definido somente para conjuntos. Então, a interseção de um indivíduo com um conjunto não é definida como interseção de dois indivíduos!

[Seção 8] Diferença de Conjuntos

Diferença: Informalmente, você obtém a diferença entre dois conjuntos S e T através da lista daquilo que está em S e não está em T.

Ex.

Filósofos = {Sócrates, Aristóteles, Sêneca}

Gregos = {Sócrates}

A diferença entre Filósofos e Gregos é {Aristóteles, Sêneca}

NOTAÇÃO:Usamos o símbolo – para indicar diferenças:

A diferença entre S e T = S difere de T = (S – T)

{Sócrates, Aristóteles, Seneca} – {Sócrates} = {Aristóteles, Sêneca}

Explicando formalmente: a diferença entre S e T é o conjunto de todos os x tal que x pertence a S e não pertence a T.

Ex.

S – T = {x | x pertence a S e não pertence a T} = {x | x ∈ S ˄ x ∉ T}

*A diferença entre qualquer conjunto e si mesmo é o conjunto vazio: S – S= {}

[Seção 9] Álgebra de Conjuntos

As operações: união, interseção e diferença podem ser combinadas. A regra para as combinações entre operações são a álgebra de conjuntos.

Ex.

S ∩ (T ∪ Z) = (S ∩ T) u (S ∩ Z);

S ∪ (T ∩ Z) = (S ∪ T) ∩ (S ∪ Z);

S ∩ (T – Z) = (S ∩ T) – (S ∩ Z);

(S ∩ T) – Z = (S – Z) ∩ (T – Z).

Segundo o autor, a álgebra de conjuntos não desempenha um grande papel nos trabalhos filosóficos e, portanto, nãos será trabalhada no livro, contudo devemos estar atentos que há uma álgebra de conjuntos.

[Seção 10] Conjuntos de Conjuntos

Conjuntos de conjuntos: Informalmente, ao colocar junto os conjuntos {A, B}, {C,D}; temos o conjunto de conjuntos {{A, B},{C, D}}.

{{A, B},{C, D}} não é idêntico a {A, B, C, D}

*Fazer um conjunto de conjuntos não é a mesma coisa que unir dois conjuntos.

Ranks: São níveis de complexidade a respeito da relação de pertença.

{REGRA}: nós dizemos que um conjunto está no rank n+1 se só contém conjuntos do rank n como membros. Há indivíduos no rank 0, conjuntos no rank 1, rank 2, rank 3, … rank n, rank n+1, etc.

Zeroth é um rank no nível dos indivíduos (não conjuntos);

Rank um é um rank no nível dos conjuntos de indivíduos;

Rank dois é um rank que só contenha conjuntos do primeiro rank;

Rank três é um rank que só contenha conjuntos do segundo rank;

E assim por diante.

Ex.

Rank 0 = {A, B, C}

Rank 1 = {{}, {A}, {B}, {C}, {A, B}, {A, C}, {B, C}, {A, B, C}}

Rank 2 = {{{}}, {{A}}, {{C}}, {{A}, A}, {{A}, B}, {{A, B}, {C}}, … }

E assim por diante.

[Seção 11] União de conjuntos de conjuntos

Pode-se aplicar o operador ∪ a conjuntos de conjuntos. Se S é um conjunto que possui conjuntos como membros, então conjunto S possui membros de membros (na medida em que os conjuntos membros de S também possuem membros). A união de S é o conjunto de todos os membros de S.

Ex.

∪S = ∪{{0}, {1, 2}, {3, 4}} = {0, 1, 2, 3, 4}

NOTAÇÃO: podemos escrever a união dos membros de S da seguinte maneira

união dos membros de S=⋃_(x∈S)x

Ex.

Uma universidade possui várias bibliotecas. L é o conjunto de todas as bibliotecas:

L = {Biblioteca de Matemática, Biblioteca de Filosofia, Biblioteca de Economia, Biblioteca Central}

Todas as bibliotecas=⋃_(x∈L)x

*Observações semelhantes podem ser mantidas para as interseções de conjuntos de conjuntos

[Seção 12] Conjuntos de Potência

Conjuntos de Potência: é um conjunto que exibe todas as maneiras de selecionar os membros de um conjunto.

Conjunto de potência de S = {x | x é um subconjunto de S}

Ex.

Conjunto {A, B}

Conjunto de potência de {A, B} = {{}, {A}, {B}, {A, B}}

 NOTAÇÃO: simbolizamos conjuntos de potência como pow. Assim, o conjunto de potência de S é powS.

powS={x┤| x  ⊆ S}

*Observe que x é um membro do conjunto de potência de S se, e somente se, x é um subconjunto de S:

(x ∈ powS)  iff (x ⊆ S)

*O conjunto vazio é um subconjunto de qualquer conjunto, portanto o conjunto vazio é um membro do conjunto de potência.

Podemos usar uma tabela para determinar um conjunto de potência. Marcando as colunas com os membros de S e as linhas com os subconjuntos de S. Um membro de S pertence ao subconjunto de S, se houver um 1 no cruzamento da coluna com a linha. Um membro de S não pertence a um subconjunto de S, se houver um 0 no cruzamento da coluna com a linha. Assim, temos o conjunto de potência de {Sócrates, Platão, Aristóteles}:

Sócrates	Platão	Aristóteles
1	1	1	{Sócrates, Platão, Aristóteles}
1	1	0	{Sócrates, Platão}
1	0	1	{Sócrates, Aristóteles}
1	0	0	{Sócrates}
0	1	1	{Platão, Aristóteles}
0	1	0	{Platão}
0	0	1	{Aristóteles}
0	0	0	{}

[Seção 13] Conjuntos e Seleções

Podemos usar o formato de Tabelas-de-Verdade para especificar seleções de conjuntos. Se há n objetos, então deve haver 2^n maneiras de selecionar estes objetos. De modo muito semelhante àquele da lógica vero-funcional na qual: se há n proposições, então há  2^n maneiras de designar valores de verdade às proposições.

A	B	{}	{B}	{A}	{A, B}
1	1	1	1	1	1	{A, B, {}, {A}, {B}, {A, B}}
1	1	1	1	1	0	{A, B, {}, {A}, {B}}
1	1	0	0	0	0	{A, B}
1	0	0	0	1	0	{{A, {A}}
0	0	1	1	0	0	{{}, {B}}
0	0	1	0	0	0	{{}}
0	0	0	0	1	0	{{A}}
0	0	0	0	0	0	{}

1 = selecionado = verdadeiro

0 = não selecionado = falso

Podemos, também, iterar o processo de seleção e tomar por objeto uma seleção que consideramos anteriormente formando o 2º nível de seleção. O processo de seleção pode ser continuado indefinidamente formando outros níveis de seleção: 3º nível, 4º nível, 5º nível, etc.

Utilizar-se da notação de Tabelas-de-Verdade é somente uma maneira de ilustrar os níveis dos conjuntos. Para os teóricos da teoria dos conjuntos, os níveis são independentes de qualquer notação que utilizemos.

[Seção 14] Conjuntos puros

Composicionalismo: Uma maneira de construir um universo é começar com alguns indivíduos no rank 0, dado estes indivíduos nós construímos os conjuntos no rank 1, então nós construímos o rank 2, e assim sucessivamente até construir todo o universo de conjuntos rank por rank. Esta maneira de construir o universo é claramente útil, mas o preço da utilidade é a indeterminação.

Conjuntos puros: Quando ignoramos os indivíduos, na tentativa de evitar a indeterminação, obtemos conjuntos puros. O conjunto vazio é o conjunto puro mais simples, pois não contém nenhum indivíduo. Todo conjunto construído a partir do conjunto vazio é, também puro.

*pode-se gerar um universo completo de conjuntos puros.

ANALOGIA CONJUNTO/NÚMERO: Conjuntos puros podem ser considerados análogos a números. Usamos números para contar coisas específicas no mundo, como 5 laranjas, 4 maçãs, 6 bonecos, 3 carros etc. Contudo, podemos pensar números sem pensar qualquer coisa particular. Estes são os números puros! Quando estudamos conjuntos puros estudamos os próprios conjuntos, assim como estudamos números puros.

NOTAÇÃO: Utiliza-se o símbolo “V” para denotar o todo do universo de conjuntos puros. Obtém-se V de maneira composicional definindo uma série de universos parciais. O universo parcial inicial é V0 e não contém nenhum indivíduo. Todos os outros níveis serão construídos a partir da iteração de V0 em uma série de universos parciais, na qual cada universo parcial contém conjuntos de rank mais elevado. Nos referimos a tal série como Hierarquia. *Sobre este assunto ver Boolos (1971) e Wang (1974)

[Seção 15] Conjuntos e Números

Equivalência de Von Neumann: Alguns autores argumentam que objetos puramente matemáticos podem ser reduzidos ou identificados com conjuntos puros. Por exemplo, von Neumann mostrou como identificar os números naturais com conjuntos puros. Primeiramente devemos identificar o conjunto vazio {} com o 0 e a função sucessor n+1 com o conjuntos de todos os números menores. Assim, n+1 = {0, … n}

Maneira de Von Neumann:

0 = {}

1 = {0} = {{}};

2 = {0, 1} = {{}, {{}}};

3 = {0, 1, 2} = {{}, {{}}, {{},{{}}};

Técnicas similares permitem identificar todos os objetos da matemática pura com conjuntos puros; de modo que todo o universo dos objetos matemáticos – números, funções, vetores, etc – são, de fato, o universo de conjuntos puros V.

Objeção de Benacerraf: Paul Benacerraf objeta a redução dos objetos matemáticos à conjuntos puros mostrando que há várias maneiras igualmente boas de se reduzir números à conjuntos puros. A de Von Neumann, a de Zermelo, Frege… Portanto, deveríamos perguntar qual maneira seria a correta já que estas maneiras são divergentes.

Resposta a Benacerraf: O estruturalismo é uma maneira de responder à Benacerraf (ver: Resnik 1997, Shapiro 1997). Outra maneira seria negar que ambas são igualmente boas, Seinhart 2003 argumenta que a de von Neumann há várias vantagens. Alguns filósofos dizem simplesmente que objetos matemáticos não são redutíveis aos conjuntos puros.

Visão Conjuntista Extrema: Uma visão mais extrema sustenta que todas as coisas são redutíveis à conjuntos puros. A ideia é: as coisas físicas são redutíveis à matemáticas, coisas matemáticas são redutíveis à conjuntos puros. (Ver Quine 1979, 1978, 1981, 1986). A ontologia de Quine é clara: tudo o que você precisa são conjuntos.

[Seção 16] Somas de conjuntos de Números

Dado algum conjunto de números, nós podemos adicioná-los. Por exemplo o conjunto {1, 2, 3}. A soma dos números neste conjunto 1+2+3=6. Utilizamos a letra Grega ∑(sigma) para expressar a soma dos conjuntos de números.

∑〖{1,2,3}〗=6

NOTAÇÃO: Dado um conjunto de números A

A soma…=∑

A soma,de todo x em A=∑_(x∈A)

A soma,de todo x em A,de x=∑_(x∈A)x

[Seção 17] Pares Ordenados

Conjuntos não são ordenados! O conjunto {A, B} é idêntico ao conjunto {B, A}. Agora suponha que nós queiramos indicar que A vêm antes de B escrevendo (A, B).  O par ordenado (A, B) não é idêntico ao par ordenado (B, A). No caso dos pares ordenados a ordem faz diferença.

Pares ordenados: Enquanto regra, para quaisquer duas coisas x e y, o par ordenado (x, y) é o conjunto {{x}, {x, y}}. Uma maneira de distinguir duas coisas em um par ordenado é especificando aquela que vem primeiro. Assim, o par ordenado (x, y) representado pelo conjunto {{x}, {x, y}} é diferente do par ordenado (y, x) que deve ser representado pelo conjunto {{y}, {x, y}}. Todo par ordenado é estabelecido dois níveis a cima dos seus elementos.

[Seção 18] Tuplas ordenadas (Enuplas)

Tuplas ordenadas: nós nos referimos a ordenamentos mais longos do que “em pares” como: “n-tuplas” ou “enuplas”. Definimos ordenamentos longos como (n+1)-tupla em termos de n-tupla como: 〖(x〗_1,… x_(n+1))=((x_1,… x_n ),x_(n+1)). Assim, uma tripla ordenada (x, y, z) é, na verdade o par ((x, y), z) que o primeiro elemento é (x, y) e o segundo elemento é z.

Ex.

(x, y, z) = ((x, y), z)

(x, y, z) = {{(x, y)}, {(x, y), z}}

(x, y, z) = {{{{x}, {x, y}}}, {{{x}, {x, y}}, z}}

Nós podemos repetir este processo e resolver qualquer n-tupla em conjuntos.

[Seção 19] Produto Cartesiano

Produto Cartesiano: Se S é um conjunto e T é um conjunto, então o produto Cartesiano de S e T é o conjunto de todos os pares (x, y), tal que x é elemento de S e y é elemento de T. O produto cartesiano é escrito como S × T.

Ex.

O produto Cartesiano dos conjuntos {1,2,3,4}×{A,B,C,D}

	A	B	C	D
1	(1, A)	(1, B)	(1, C)	(1, D)
2	(2, A)	(2, B)	(2, C)	(2, D)
3	(3, A)	(3, B)	(3, C)	(3, D)
4	(4, A)	(4, B)	(4, C)	(4, D)

Assim como podemos estender a noção de pares ordenados a triplas ou n-tuplas em geral, nós também podemos estender a noção de produto cartesiano. Se S, T e Z são conjuntos, então S × T × Z é o conjunto de todos as triplas (x, y, z) tal que x pertence a S, y pertence a T e z pertence a Z. Importante lembrar que:

S × T × Z = ((S × T) × Z).